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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 10: Aplicaciones de la Integral

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1. Calcule el área de la región comprendida entre los gráficos de las siguientes curvas:
e) f(x)=−x,g(x)=x−x2f(x)=-x, g(x)=x-x^{2}

Respuesta

1) Buscamos los puntos de intersección entre ff y gg −x=x−x2-x = x - x^2 x2−2x=0x^2 - 2x = 0 x(x−2)=0x(x - 2) = 0 Por lo tanto, las soluciones de esta ecuación y los puntos de intersección entre ff y gg son x=0x=0 y x=2x=2 2) Techo y piso En el intervalo (0,2)(0,2) -> gg es techo y ff es piso 3) Planteamos la integral del área A=∫02[g(x)−f(x)] dx=∫02[(x−x2)−(−x)] dx=∫02(x−x2+x) dx=∫02(2x−x2) dxA = \int_{0}^{2} [g(x) - f(x)] \, dx = \int_{0}^{2} [(x - x^2) - (-x)] \, dx = \int_{0}^{2} (x - x^2 + x) \, dx = \int_{0}^{2} (2x - x^2) \, dx

Atenti ahí con ese paréntesis y cómo reescribimos la expresión :) Calculamos la integral: ∫02(2x−x2) dx=(x2−13x3)∣02=43\int_{0}^{2} (2x - x^2) \, dx = \left( x^2 - \frac{1}{3}x^3 \right) \Big|_{0}^{2} = \frac{4}{3}

Por lo tanto, el área encerrada es 43\frac{4}{3}
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